Шенгелая родился в Тбилиси в 1933 году в семье кинематографистов. Его отец, Николоз Шенгелая, был режиссером, а мать, Нато Вачнадзе, – актрисой. Окончив ВГИК в Москве, он начал карьеру на "Мосфильме", но вскоре вернулся в Грузию и стал работать на "Грузия-фильм".
Работы Шенгелая отличались тонкой сатирой, поэтичностью и глубоким знанием человеческой природы. Его фильмы неоднократно получали признание как в СССР, так и за рубежом. Картина "Голубые горы" (1983), иронично рассказывающая о советской бюрократии, была показана на Каннском кинофестивале.
С 1976 года Эльдар Шенгелая возглавлял Союз кинематографистов Грузии, оказывая заметное влияние на развитие национального кино. Коллеги называли его одним из тех, кто сформировал уникальный язык грузинского кинематографа.